prinsip dasar menghitung - matematika diskrit

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.   Latar Belakang Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan dengan masalah perhitungan. Sebagai contoh, misalkan nomor plat mobil di negara X terdiri atas 5 angka. Angka diikuti dengan 2 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat? Biasanya cara yang paling sederhana untuk menyelesaikan contoh persoalan tersebut  adalah dengan menghitung satu persatu setiap kemungkinan jawaban. Tetapi untuk persoalan dengan jumlah objek yang banyak, cara menghitung satu persatu setiap kemungkinan jawaban jelas tidak efisien. Mungkin kita sudah lelah sebelum usaha menghitung satu persatu semua kemungkinan nomor plat mobil selesai, karena nomor plat mobil yang dibentuk sangat banyak.

Di sinilah peran kombinatorial yang merupakan “seni berhitung”, menyelesaikan persoalan semacam ini dengan cepat. Kombinatorial dapat digunakan untuk menjawab persoalan semacam ini tanpa kita perlu menghitung satu persatu semua kemungkinan jawabannya. Hal ini dapat dilakukan karena di dalam kombinatorial terdapat “Prinsip Dasar Menghitung”. Apakah “Prinsip Dasar Menghitung” itu?  “Prinsip Dasar Menghitung” akan dijelaskan dalam pembahasan makalah berikut ini.

1.2.   Rumusan Masalah

1.      Sebutkan prinsip dasar menghitung dan jelaskan masing-masing prinsip tersebut?

2.      Berikan contoh soal dan penyelesaian pada masing-masing prinsip tersebut!

3.      Jelaskan perluasan prinsip menghitung?

1.3.   Tujuan

1.      Untuk mengetahui ada berapa prinsip dasar menghitung dan memahami masing-masing prinsip tersebut.

2.      Untuk lebih memahami masing-masing prinsip tersebut jika diaplikasikan dalam bentuk soal.

3.      Untuk mengetahui perluasan prinsip menghitung.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1.Prinsip Dasar Menghitung

Dua prinsip dasar yang digunakan dalam menghitung (counting) yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian.

a.       Prinsip Penjumlahan

Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban), maka bila hanya satu percobaan saja yang dilakukan (percobaan 1 atau percobaan 2), terdapat p + q kemungkinan hasil percobaan (menghasilkan p + q kemungkinan jawaban) yang mungkin terjadi.

b.      Prinsip Perkalian

Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan p kemungkinan jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (atau menghasilkan q kemungkinan jawaban), maka bila percobaan 1 dan percobaan 2 dilakukan, maka terdapat p x q hasil percobaan (atau menghasilkan p x q kemungkinan jawaban).

Perhatikan kata yang digarisbawahi pada kedua kalimat di atas: dan serta atau. Kedua kata ini adalah kata kunci untuk mengidentifikasi apakah suatu percobaan menghitung diselesaikan dengan prinsip perkalian atau prinsip penjumlahan. Prinsip  perkalian menyatakan bahwa kedua percobaan dilakukan secara simultan atau serempak, sedangkan pada prinsip penjumlahan, kedua percobaan dilakukan tidak simultan.

2.2.Contoh Soal dan Penyelesaian

a.       Contoh Soal Penjumlahan

(1)   Jabatan ketua himpunan dapat diduduki oleh mahasiswa angkatan tahun 1997 atau angkatan tahun 1998. Jika terdapat 45 mahasiswa angkatan 1997 dan 52 orang mahasiswa angkatan 1998, berapa cara memilih penjabat ketua himpunan?

Penyelesaian:

Jabatan yang ditawarkan hanya ada 1, yang dapat diduduki oleh salah seorang mahasiswa dari dua angkatan yanga ada. Ada 45 cara memilih satu orang mahasiswa dari angkatan 1997 dan 52 cara memilih satu orang dari angkatan 1998, namun hanya satu dari kedua angkatan itu yang terpilih (angkatan 1997 atau angkatan 1998). Dalam kombinatorial dari kedua kejadian, hanya satu dari dua kejadian yang dilakukan, sehingga dengan menggunakan prinsip penjumlahan, jumlah cara memilih penjabat ketua himpunan tersebut sama dengan jumlah mahasiswa pada kedua angkatan, yaitu 45 + 52 = 97 cara.

(2)   Misalkan dalam sebuah rak terdapat 4 buku Matematika yang berbeda, 3 buku Biologi yang berbeda dan 2 buku Fisika yang berbeda. Berapa banyak cara 2 buku dengan bidang yang berbeda bisa dipilih dari rak tersebut?

Penyelesaian:

Ada tiga kemungkinan yang bisa terjadi, yaitu 2 buku yang terpilih terdiri dari satu buku bidang Matematika dan satu bidang Biologi, satu bidang Matematika dan satu bidang Fisika, serta satu bidang Biologi dan satu bidang Fisika. Dengan menggunakan Prinsip Perkalian, terdapat 4 x 3 = 12 cara untuk memilih 2 buku yang terdiri dari satu buku bidang Matematika dan satu bidang Biologi, terdapat 4 x 2 = 8 cara untuk memilih 2 buku yang terdiri dari satu buku bidang Matematika dan satu bidang Fisika, serta terdapat 3 x 2 = 6 cara untuk memilih 2 buku yang terdiri dari satu buku bidang Biologi dan satu bidang Fisika. Karena pemilihan dua buku dari bidang yang berbeda tersebut saling lepas, maka dengan menggunakan Prinsip Penambahan banyaknya cara 2 buku dengan bidang yang berbeda bisa dipilih adalah 12 + 8 + 6 = 26

b.      Contoh Soal Perkalian

(1)   Sekelompok mahasiswa terdiri atas 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang wakil pria dan satu orang wanita?

Penyelesaian:

Ada 4 kemungkinan memilih 1 wakil pria, dan tiga kemungkinan memilih satu wakil wanita. Jika dua orang wakil harus dipilih, masing-masing satu pria dan satu wanita maka jumlah kemungkinan perwakilan yang dapat dipilih adalah      4 x 3=12.

(2)   Berapa banyak cara 3 huruf dapat disusun dari 5 huruf ABCDE :

a) jika tidak boleh ada pengulangan?

b) jika huruf awalnya A dan tidak boleh ada pengulangan?

c) jika huruf awalnya bukan A dan tidak boleh ada pengulangan?

Penyelesaian:

a) Ada tiga langkah yang harus dilakukan untuk menyusun 3 huruf dari 5 huruf ABCDE jika tidak boleh ada pengulangan. Langkah pertama adalah memilih huruf pertama yang bisa dilakukan dalam 5 cara, langkah kedua adalah memilih huruf kedua yang bisa dilakukan dalam 4 cara, dan langkah ketiga adalah memilih huruf ketiga yang bisa dilakukan dalam 3 cara. Sehingga banyaknya cara menyusun 3 huruf dari 5 huruf ABCDE jika tidak boleh ada pengulangan adalah 5 x 4 x 3 = 60

b) Ada tiga langkah yang harus dilakukan untuk menyusun 3 huruf dari 5

huruf ABCDE jika huruf awalnya A. Langkah pertama adalah memilih

huruf pertama yang bisa dilakukan dalam 1 cara, langkah kedua adalah

memilih huruf kedua yang bisa dilakukan dalam 4 cara, dan langkah

ketiga adalah memilih huruf ketiga yang bisa dilakukan dalam 3 cara.

Sehingga banyaknya cara menyusun 3 huruf dari 5 huruf ABCDE jika

huruf awalnya A adalah 1 x 4 x 3 = 12

c) Ada tiga langkah yang harus dilakukan untuk menyusun 3 huruf dari 5 huruf ABCDE jika huruf awalnya bukan A. Langkah pertama adalah memilih huruf pertama yang bisa dilakukan dalam 4 cara, langkah kedua adalah memilih huruf kedua yang bisa dilakukan dalam 4 cara, dan langkah ketiga adalah memilih huruf ketiga yang bisa dilakukan dalam 3 cara. Sehingga banyaknya cara menyusun 3 huruf dari 5 huruf ABCDE jika huruf awalnya bukan A adalah        4 x 4 x 3 = 48

Cara lain adalah banyaknya cara menyusun 3 huruf dari 5 huruf ABCDE dikurangi dengan banyaknya cara menyusun 3 huruf yang diawali dengan huruf A, yaitu 60 – 12 = 48

2.3.Perluasan Prinsip Menghitung

Prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian diatas dapat diperluas hingga mengandung lebih dari dua buah percobaan. Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p₁, p₂, ... , p_n, hasil percobaan yang mungkin terjadi yang dalam hal ini setiap p tidak bergantung pada pilihan sebelumnya, maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah:

a)      p₁ + p₂ + ... + p_n                    Untuk prinsip penjumlahan

b)      p₁ x  p₂ x ... x p_n                     Untuk prinsip perkalian

Contoh Soal

1. Suatu bilangan dibentuk dari angka-angka 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Misalnya pengulangan angka tidak dibolehkan. Berapa banyak bilangan 4 angka yang kurang dari 5000 namun habis dibagi 5 yang dapat dibentuk dari angka-angka tersebut?

Penyelesaian:

Ada 4 angka yang akan dibentuk:  _ _ _ _

Karena disyaratkan bilangan kelipatan 5, maka angka paling kanan hanya dapat diisi dengan angka 5 saja (satu saja).

Angka posisi ke-1 dapat diisi dengan 3 cara (yaitu 2, 3, dan 4)

Angka posisi ke-2 dapat diisi dengan 5 cara (2 angka lain sudah dipakai untuk posisi ke-1 dan ke-4).

Angka posisi ke-3 dapat diisi dengan 4 cara (3 angka lain sudah dipakai untuk posisi ke-1, ke-2, dan ke-4).

Karena seluruh posisi angka harus terisi, maka kita menggunakan prinsip perkalian untuk menghitung jumlah bilangan bulat yang dapat dibentuk, yaitu 3 x 5 x 4 x 1 = 60

2. Berapa perpustakaan yang memiliki 6 buah buku berbahasa Inggris, 8 buah buku berbahasa Prancis, dan 10 buku berbahasa Indonesia. Masing-masing buku berbeda judulnya. Berapa jumlah cara memilih (a) 3 buah buku, masing-masing dari tiap bahasa berbeda, dan (b) 1 buah buku (sembarang bahasa).

Penyelesaian:

(a)    Jumlah cara memilih 3 buah buku, masing-masing dari tiap bahasa adalah          (6)(8)(10) = 480 cara.

(b)   Jumlah cara memilih 1 buah buku (sembarang bahasa) = 6 + 8 + 10 = 24 cara.

BAB III

PENUTUP

3.1.   Kesimpulan

Dari pembahasan di atas, kita dapat mengetahui bahwa prinsip dasar menghitung ada 2 yaitu prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian. Kata dan serta atau merupakan kata kunci untuk mengidentifikasi apakah suatu persoalan menghitung diselesaikan dengan prinsip penjumlahan atau prinsip perkalian. Prinsip penjumlahan menyatakan bahwa kedua percobaan dilakukan tidak simultan. Sedangkan prinsip perkalian menyatakan bahwa kedua percobaan dilakukan secara simultan atau serempak. Prinsip penjumlahan dan prinsip perkalian juga dapat diperluas hingga mengandung lebih dari dua buah percobaan.